已知\(f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x\)

(2)若\(x=0\)是\(f(x)\)的极大值点，求实数\(a\)的值.

其实该问可以写的更简洁一点，那个“大”字可以不要，或者直接改为“若$f(x)\leqslant 0$, 求$a$的值.”

其实就是去年高考题的深挖，虽然我们也进行了，但是力度没有高考强.

2017年四川高考数学(全国卷3)理科21题第1问

已知函数\(f(x)=x-1-a\ln x\)

(1)若\(f(x)\geqslant 0\)，求\(a\)的值\(.\)

{\bf 练习(自编题)}已知不等式\(2x\ln x+a(x-a)(x-1)\geqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的值.

{\color{red}{\bf 分析：}}令\(f(x)=2x\ln x+a(x-a)(x-1)\)，则易知\(f(1)=0\)

\(\Rightarrow f'(1)=0\)(其中\(f'(x)=2+2\ln x+a(x-1)+a(x-a)\))

\(\Rightarrow 2+a(1-a)=0\)

\(\Rightarrow a=2\)或\(a=-1\)

检验：当\(a=-1\)时，\(f(x)=2x\ln x-(x+1)(x-1)\)

\(\Rightarrow f'(x)=2+2\ln x-2x=2[\ln x-(x-1)]\leqslant 0\)(其中用到切线放缩“\(x-1\geqslant \ln x\)”)

此时，虽然\(f(1)=0\)，但是\(x=1\)并不是函数\(f(x)\)的最小值点{\color{red}{\bf (思考：此时发生的现象是什么？)}}

当\(a=2\)时，\(f(x)=2x\ln x+2(x-2)(x-1)\)

\(\Rightarrow f'(x)=2\ln x+4x-4\)(其中\(f'(x)\)单调递增且\(f'(1)=0\))

$\Rightarrow \(函数\)f(x)$的草图

显然，此时\(f(x)_{_{min}}=f(1)=0\)，因此\(a=2\)符合条件。

综上可知，\(a=2\).

现在对这题的另类解法进行瞎谈

想法一：当\(m\rightarrow 0\)时，上图\(h(x)\)在点\((m,h(m))\)处的二阶泰勒展开\(g(x)\rightarrow 2+x-\dfrac{1}{6}x^2\)，

得到\(a=-\dfrac{1}{6}\)(还要验证，此处略去)

想法二：用邻域的思想来处理,道理自己想(计算还可以去分母，这样计算更简单，读者自己去算哈)

\(f'(x)=(1+2ax)\ln(1+x)+\dfrac{ax^2-x}{1+x}\Rightarrow f'(0)=0\)

恒成立，

\(f''(x)=2ax\ln(1+x)+\dfrac{1+2ax}{1+x}+\dfrac{ax^2+2ax-1}{(1+x)^2}\Rightarrow f''(0)=0\)

恒成立，

\(f'''(x)=\dfrac{2a}{1+x}+\dfrac{2a(x+1)-(1+2ax)}{(1+x)^2}+\dfrac{(2ax+2a)(1+x)^2-2(1+x)(ax^2+2ax-1)}{(1+x)^4}\Rightarrow f'''(0)=6a+1=0\)

恒成立， 得到\(a=-\dfrac{1}{6}\)(还要验证，此处略去)

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和它相似的题，方法一、二和上面一样，方法三如下

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